【2024年版】教科書レベルから東大理三レベルまで: 大学入試数学参考書ルートを徹底解説【成績推移】

はじめに

この記事では、大学入試数学の学習を始める段階から、東京大学理科三類に合格するレベルまで到達するための究極の数学参考書ルート – Abso-Route – を徹底的に解説します。また、各参考書を通じて、大学入試数学で点を取るために必要となる能力のうち、どのような能力を身に着けることが出来るのか、そして、それによりどの程度の成績を取る事が可能になるのか、完全独学・参考書のみで東大理三に合格し、東大本試験の数学で116点を獲得した私自身の経験に基づいて論じます。

結論だけ読みたい人は、推奨参考書ルート を見てください！

本数学参考書ルート – Abso-Route – の特長

本数学参考書ルート – Abso-Route – は以下の3点から、Absolute(完全・確か)な価値を持つ参考書ルートです。

• 各参考書の演習に、目的意識を与える
  • 参考書を活用する際の核心は、明確な目的意識を持って演習に取り組むことにあります。なぜなら、「どの参考書を通じて、具体的にどの能力を向上させるか」を明確に意識することが、学習の質を高め、知識の定着を促進するからです。
    
    そのため、Abso-Routeでは、大学入試数学で点を取るために必要な各種能力を養うために、各参考書をどのように活用すべきかについて詳細に解説します。これにより、学習者はそれぞれの参考書から最大限の効果を得ることができるようになります。
• 高難易度の参考書解説の解像度・信憑性が高い
  • インターネット上でよく見られる参考書ルートは、「東大早慶レベル」のように、東大と早慶が一緒にされて解説されるなど、上位の難易度帯の参考書の解像度が異様に低いです。本参考書ルート – Abso-Route – では、高校時代の青春を、上位難易度帯の参考書を解き漁ることに捧げた筆者Sakiが書いているため、その難易度や使い方についての解像度や信憑性は高いです。
  • 本参考書ルート – Abso-Route – は、筆者の個人的な経験のみならず、筆者の知り合いの東大理三生にも監修をして貰っているため、客観性がある程度確保されています。(その東大理三生も完全独学・参考書のみで理三に合格した大学受験参考書の専門家です。)
• 網羅性が高い
  • 教科書レベルから東大理三レベルまで、大学受験数学の全ての難易度帯の参考書を網羅しています。

対象読者

• 大学受験数学の基礎から応用まで学びたい中学生・高校生
• 大学入試の数学で高得点を目指したい東大・京大・医学部受験生
• 教育関係者や保護者で、子どもや生徒の学習指導に参考書の選択を役立てたい方

参考書の分類と獲得できる能力

本参考書ルート – Abso-Route – の解説に入る前に、まず大学入試数学の参考書を二種類に分類し、それぞれの参考書の問題を解くには、どのような能力が要求されるのか、レベルごとに概説します。

参考書を分類し、各参考書ごとに要求される能力のレベルを説明する目的は二つあります。

1. 参考書の難易度の分類に役に立つ
   問題を解く際に、要求される能力のレベルを分類することで、各参考書の難易度を適切に判断する基準を提供することが出来ます。
2. 目的意識を持って参考書に取り組むことが出来る
   今自分が取り組んでいる参考書を通じて、鍛えなければならない能力は何なのか、目的意識を持って演習に取り組むことで、質の高い学習が可能になります。

大学入試数学の参考書は大きく「網羅系問題集」と「入試問題集」に分けることができます。それぞれの問題集を通じて、鍛えられる能力を分類した図表が下図になります。この図表に示した能力を身に着けるという目的意識を持って、各参考書の演習に取り組むことが、得点に直結する実力を養成するために必要です。

網羅系問題集

青チャートやFOCUS GOLDのような、教科書の基礎レベルから入試標準レベルまで幅広い範囲の内容を網羅し、体系的に数学を学ぶことができる問題集です。学習のスタート地点や、理解の不確かな分野を補強するのに適しています。

使用の目的

網羅系問題集では、基本的な入試問題の定石を蓄積することを目的にしています。

網羅系問題集に載っている問題は、定石(解法)と問題が1対1にシンプルに対応する問題が多く、基本的な定石を網羅的に収集することが出来ます。まずはここが、出発点です。

入試問題集

過去の入試問題を収録している問題集です。網羅系問題集で、解法の定石を収集した後で使用します。

使用の目的

入試問題集を使用する目的は3つです。

0. 基本定石の完璧な定着
   網羅系問題集で収集した、基本定石を、問題集を解きながらアウトプットすることで、完璧に定着させます。
1. 定石を組み合わせる練習を積む
   入試問題は、網羅系問題集とは異なり、単に定石を適用するだけでは解けない問題が多いです。このような問題は、複数の定石を組み合わせることで、答えへの道筋が見えてきます。入試問題集の演習を通じて、1対1に、定石を適用させる練習のみならず、複数の定石をどう上手に組み合わせて問題を解くか、その能力を鍛えます。この能力は、国公立大学入試の標準レベルの問題(大学への数学の難易度帯B)で要求されます。
2. 適切な解法の道筋を総合的に判断して選ぶ
   さらに問題の難易度が上がると、ひとつの問題に対して、複数の道筋が考えられるようになります。このような場合は、計算量や論理展開の妥当性との兼ね合いを総合的に判断して、最適なルートを選ぶことが要求されるようになります。この能力は、国公立大学入試のやや難~難レベルの問題(大学への数学の難易度帯C~D)で求められます。

以上が、各参考書の分類と、使用の目的となります。次に、具体的な参考書・問題集をどのような順序で進めていくのか、そして、それによりどこまで成績を上げることが出来るのかを、一目瞭然にした究極の数学参考書ルート – Abso-Route – について説明します。

大学受験数学参考書の究極ルート: Abso-Route

これが、大学受験数学を鳥瞰する究極の参考書ルート – Abso-Route – です。

参考書選びの結論を最初に示し、次に各参考書の比較や特長について論じます。

結論

時間のある中学生・高校1年生

推奨ルート:
入門問題精講　→ 青チャート → 標準問題精講 → やさしい理系数学 → 上級問題精講　→ 過去問

上記ルートは、東大理一レベルを目指す人向けの基本ルートです。青チャートは1Aから数3までに全部で例題2000題あり、かなりボリュームのある参考書ですが、時間がある人はしっかりやると確実に力になります。標準問題精講との接続もスムーズで、ストレスなく問題集を解き進める盤石な力が付きます。

自分の志望校のレベル帯に応じて、どこで打ち切るかは適切に選んでください。時間があれば、志望校のレベル帯の問題集は、複数冊やった方がいいと思います。

時間の無い高2・高3・浪人生

推奨ルート:
入門問題精講　→ 基礎問題精講 → 標準問題精講 → やさしい理系数学 → 上級問題精講　→ 過去問

違いは、青チャートが基礎問題精講に変わった点です。基礎問題精講は、例題が500題とコンパクトにまとまっているため、青チャートの膨大な量をこなす必要が無くなり、時間を圧迫しません。一方で、難易度の範囲は、青チャートよりもやや低めなので、標準問題精講との接続がやや悪く、悪戦苦闘しながら難しい問題を解いていくことになるので、モチベーションが下がらないように覚悟を持って進めていく必要があります。

以上が私の参考書選びの結論です。

次に、各レベルごとに、各参考書の比較、及びそれぞれの特長について整理して、私がこの結論に至った背景について説明します。

フェーズ0: 教科書レベル

初学者や基礎を固めたい受験生には、教科書レベルの問題集から始めることを推奨します。ここでは、基本的な公式や定理、解法が網羅されており、数学の基本を学ぶことを目的とします。

基本的に学校の授業を聞いて、教科書に対応する傍用問題集が解けている状態であれば、このフェーズはスキップしても構いません。

入門問題精講

まだ学校の授業を受けておらず、完全に初見で先取りを始めたい人におすすめの参考書は、入門問題精講です。入門問題精講の特徴は、教科書基礎レベルの事項が、豊富な図表を用いて丁寧に解説されているため、初学者でも取り組みやすい点にあります。まずは基本の知識をこの本で固めましょう。

フェーズ1: 定石蓄積

網羅系問題集を使って、様々なタイプの問題に取り組むことで解法を蓄積していきます。この段階では、多くの問題を解くことが重要です。

網羅系問題集の選び方

網羅系問題集を選ぶに際して、重要となる観点は以下の二点です。

1. 十分な量がある(=網羅性がある)
   網羅系問題集をこなす際は、基本的な定石を収集することを目的にしているため、定石に漏れがないことが重要です。
2. 学習の質を確認できる(=同じ定石を使う類題がある)
   網羅系問題集をこなす際に重要な点は、きちんと定石が身に付いたかを、定期的に確認する事です。そのためには、例題と同じ定石を用いる適切な難易度の類題が、全ての例題に付与されていることが理想です。この類題があることにより、定石がきちんと身についているか、学習の質を確認しながら、問題集を解き進めることが出来ます。

基礎問題精講

長所

• 問題数が少なく、コンパクト
  1Aから数3まで、例題数の合計が500問であり、青チャートの2000題と比較すると、非常にコンパクトに基本の定石がまとまっています。
• 類題が例題と同じ定石を使う
  例えば、1対1対応の演習のような参考書は、類題を解くために、例題とはやや異なる定石を要求することも多く、最初に用いる網羅系問題集としては適していません。基礎問題精講では、類題と例題が同じ定石を使うため、きちんと定石が身についているか、学習の質を確認しながら、モチベーションを保って、問題集を進めることが出来ます。

短所

• 問題数が少なく、次の参考書へ接続しにくい
  長所の裏返しですが、やや難しい定石を使う問題は掲載されていないため、次のレベルの問題集(例えば、標準問題精講)に進む際、やや苦労することになります。

まとめ

• 時間があまり無い受験生におすすめする参考書です。

青チャート

長所

• 問題数が多く、網羅的。ステップアップも容易。
  1Aから数3までに例題だけで全部で2000問あります。高めの難易度の定石も網羅しているので、標準問題精講など、次のレベル帯の問題集への接続が容易です。EXCERCISEや章末問題は、余力がある人だけやれば良いです。
• 類題が例題と同じ定石を使う
  基礎問題精講と同じです。

短所

• 問題数が多いため、全てをこなすには時間が掛かります。また、計画的に復習をするよう学習スケジュールを組まないと、一周終わる頃には最初の単元を忘れてしまっていて、学習が非効率になってしまいます。
  

まとめ

• 時間がある中学生や高校1年生におすすめです。しっかりこなすと基礎が盤石に固まり、次のレベルへのステップアップが容易になります。

フェーズ2: 解法選択1: 定石の組合せ

次に、入試問題集を利用して、実際の入試で問われるような複雑な問題にチャレンジします。ここでは、網羅系問題集で蓄積した定石を組み合わせて、解答を導く力を養います。

標準問題精講

長所

• 全ての解法に「解法のプロセス」が載っている
  標準問題精講は、全ての問題に「解法のプロセス」という、解法の流れをシンプルに説明した図が載っている点が秀逸です。この「解法のプロセス」のひとつの要素が、網羅系問題集で収集した「基本定石」に対応し、「定石の組み合わせ」で、解答を作るという考え方を丁寧に学ぶことが出来ます。
• 数式展開のモチベーションが丁寧に説明されている
  式展開が無味乾燥と淡々に進むのではなく、なぜそのような式変形をするのかといったモチベーションや、注意しなければならない論理の展開について、適宜「左矢印マーク」を用いて補足されています。1問につき、この「左矢印マーク」による補足が、平均3つほどあり、かなり丁寧に式展開が説明されています。これにより、数学筆記試験で点を取るために必要な能力のうち、「論理展開」と「計算実行」の能力を鍛えることが出来ます。
• 別解が十分に載っている
  多くの問題に対して、私が思い付ける程度の基本的な別解はほとんど掲載されています。豊富に別解が載っていることにより、総合的に判断して、どちらの解法を選ぶのが最適かという「解法選択2:総合判断」の視点も養うことが出来ます。ただし、参考書の中で、総合判断の議論をしているわけではないので、自分の頭の中で吟味したり、適切な指導者に質問をしてみたりする作業は必要です。

短所

• 「解法選択2:総合判断」の議論がない
  別解自体は載せていますが、どちらが総合的に良いかは自分で吟味する必要があります。
• 次のレベル帯へ直接の接続が難しい
  次のレベル帯の参考書、例えば上級問題精講へ、直接ステップアップするのは難しいです。間に、「やさしい理系数学」か「新数学スタンダード演習」のどちらかを挟む必要があります。

まとめ

• 大学入試数学で点を取るために必要となる能力のうち、「解法選択1:定石の組み合わせ」「論理展開」「計算実行」の能力を鍛えることが出来るとても優れた参考書です。

やさしい理系数学

長所

• 別解が豊富に載っている
  ひとつの問題につき、豊富に別解が載っているケースが多く、解法の着想の引き出しを増やすことが可能です。ただし、どの解法が良いか、「総合判断」については議論がありません。

短所

• 数式展開が無味乾燥としている
  標準問題精講とは異なり、逐一の補足はありません。そのため、ある程度自力で「論理展開」や「計算実行」を終える能力が身に着いた後の段階で演習することが望ましいです。

まとめ

• 標準問題精講よりもやや難しい問題を、様々な視点から眺めることが出来るため、解法の着想の引き出しを増やすことが出来ます。ただ、数式展開は淡々としているので、標準問題精講の後にやりましょう。

新数学スタンダード演習

長所

• 解法の「総合判断」について記載がある
  新数学スタンダード演習では、複数解法が考えられる場合に、なぜそちらを選ぶのが良いのかについて、コメントのような形で論じていることが多いです。これにより、解法を「総合判断」して選択する能力が磨かれます。
• 難易度表記がある
  ABCDの4段階表記の難易度評価と、目安となる所要時間の記載があるため、問題の難易度を見極める「選球眼」を同時に鍛えることが出来ます。

短所

• 数式展開が無味乾燥としている
• 問題数が多い

まとめ

• 標準問題精講を解いた後にこなす本です。やさしい理系数学とどちらが良いかは好みの問題ですが、時間があり、かつ大学への数学の参考書になじみがある人であれば、こちらを選択すると良いと思います。

フェーズ3: 解法選択II: 総合判断

最終的には、定石を組み合わせて解法を導くだけでなく、複数の解法が考えられるときに、計算量・論理展開の妥当性を加味して、どちらが良いのかを総合的に判断する力が求められます。特に、東大理系数学のような高難度かつ制限時間が厳しい入試では、この判断が極めて重要となります。

上級問題精講

長所

• 解法の着想が語られる
  全ての問題に、「精講」という項目があり、ここで、なぜその解法を選ぶに至ったのか、その背景がシンプルな語り口で記述されています。これにより、解法選択の能力を磨くことが可能です。
• 数式展開が丁寧
  標準問題精講と同じく、各式変形について、その「論理展開」「計算実行」が丁寧に補足されています。
• 別解が豊富
  様々な着想が学べますが、どちらが良いのかの議論は少ないです。

短所

• やや問題数が少ない
  新数学演習と比べると問題数が少ないです。

まとめ

• やさしい理系数学か、新数学スタンダード演習を終わらせた後で行うと良いと思います。「精講」に解法選択の視点が凝縮されており、この能力を鍛えることが出来ます。

ハイレベル理系数学

長所

• 別解が豊富
  ひとつの問題につき、4つ以上別解を用意していることもあります。ただし、どれが良いかについての議論はあまりありません。

短所

• 数式展開が無味乾燥としている
• 難易度が揃っていない
  かなり簡単な問題から、かなり難しい問題まであり、やや難易度がバラバラだという印象を受けます。

まとめ

• やさしい理系数学が好きだった人はこちらをやるのも良いと思います。上級問題精講がおすすめですが、上問をやり終えた後に、さらに演習を積みたい人におすすめできます。

新数学演習

長所

• 問題数が多い
  高難易度帯の問題が大量に揃っており、演習量を確保することが出来ます。
• 計算力が鍛えられる
  かなり腕力を使って解く問題も多く用意されており、解法の着想のみならず、腕力で答えを導く計算力も同時に鍛えられます。
• 難易度表記がある
  新数学スタンダード演習と同様、「問題選択」の際に必要となる選球眼を磨くことが出来ます。

短所

• 数式展開が無味乾燥としている

まとめ

• 上級問題精講を終えた後で、演習量を確保したい人におすすめです。

入試数学の掌握

最後に、解法選択の名著「入試数学の掌握」を紹介します。

長所

• 解法選択を体系的に論じている
  複数の解法が考えられるときに、どの解法を選ぶのが良いのか、総合的に判断する指針を「鉄則」という形で明示します。これは、他の参考書には無い特徴です。
• 東大京大阪大対策にかなり有用である。
  入試数学の掌握のサブタイトル「君の数学力を東大理3・京大医学部・大阪大医学部レベルに導くための究極の指南書」にある通り、本書は、東大京大阪大の受験生を対象として執筆されています。それ故に、各大学の問題の特徴や傾向について良く研究されており、これらの大学を受験する受験生には大変有用な内容となっています。
  具体的には、東大に頻出の分野である「軌跡と領域」は、掌握第2巻のThema3に非常に良くまとまっています。東大を目指す受験生は、この章だけでも目を通す価値があります。
  また、京大についても、京大入試特有の「抽象的な設定の図形の証明問題」の解き崩し方について整理しており、一読の価値があります。
• 東大京大阪大レベルの演習価値の高い問題が揃っている
  例題とCheckを含め、3冊で全124問の演習価値が高い問題を揃えています。解く問題が無くなった受験生にとっては、難問問題集として使用する価値もあります。

まとめ

• 入試数学の掌握は、解法選択の総合的な判断に明確な指針を与える名著です。
• 東大京大受験生の場合、頻出分野について整理してある章は必見です。

最後に: 目的意識を持ってAbso-Routeに取り組もう

以上が、教科書レベルから東大理三という頂きに到達するための大学入試数学の参考書ルート – Abso-Route – です。冒頭にも述べた通り、参考書を使用する際に最も重要な点は、どの参考書を選ぶかという点よりも、その参考書を通じてどのような能力を鍛えるか、明確に意識する事です。

本記事では、各参考書の進め方や順番のみならず、その参考書を通じてどのような能力を鍛えられるのかについても論じました。本記事の内容を念頭に置いて、目的意識を持って上記参考書に取り組むことで、学習の質を最大化する事が可能になります。

最後に、大学入試数学で点を取るためにどのような能力が必要になるのかを、抽象的な理論体系としてまとめ上げた記事【東大理三が図解】数学筆記試験戦略: 得点最適化の理論体系 – 110s: Double One Zerosについても、一読すると、予め鍛えなければならない能力を把握する事が出来て、学習の質が爆増します。ぜひご参考ください。